立体画像をみせてくれるCT
今回はCTが３次元のデータをどうやって撮影しているのかについてお話します。

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　医科用CTスキャン

CTスキャンの原理

　
　CTではX線源から人体に向けて照射されたX線は人体内部を通過し一部吸収されて減衰した後、反対側の検出器で受けます。
人体内部の各位置でのX線吸収率の違いにより、検出値の分布（下図中央の図）が変化します。　そして、X線源と検出器の組を少しずつ回転させて撮影を繰り返します。

　このようにして得られた情報をコンピュータ処理することによって、対象物中のそれぞれの位置でのX線の吸収量を、黒から白に至る輝度（明るさ）として表示したものがＣＴ画像です。

　CT画像では、骨の部分などはX線の吸収が大きいので白く見え、空気など吸収が少ない部分は黒く見えます。また、これらの中間の吸収を示す部分（水や筋肉など）は灰色に見えます。

CTスキャンの数学的な原理は以下のとおりです。

人体の画像（減衰率分布）を f(x, y) とし、ある角度θでの検出値の分布（X軸への投影データ）を R(θ, X)とすると、
　　R(θ, X) = ∫-∞∞ f(x, y) dY

となります。ここで、X-Y はｘｙ座標系をθだけ回転させた座標系です。
　　X = xcosθ + ysinθ
　　Y = -xsinθ + ycosθ
R(θ, X)を f(x, y) のラドン（Radon）変換と呼びます。

　色々な角度θに対するR(θ, X)から f(x, y)を求めることができれば、人体の画像（断層写真）が得られることになります。　このために、以下のようにフーリエ変換を利用します。

　R(θ, X)をフーリエ変換したものをG(θ, r)すると、（dXdY = dxdy）
　　G(θ, r) = ∫-∞∞ R(θ, X)e -jrX dX

　　　　　　　= ∫-∞∞ ｛∫-∞∞ f(x, y) dY ｝e -jrX dX

　　　　　　　= ∫-∞∞∫-∞∞ f(x, y) e -jr(xcosθ + ysinθ) dxdy

　　　　　　　= F (rcosθ, rsinθ)

　ここで、F(u, v) は f(x, y) の２次元フーリエ変換：
　　F(u, v) = ∫-∞∞∫-∞∞ f (x, y)e-j (ux + vy) dxdy

であり、任意の方向θへの投影データR(θ, X)のフーリエ変換G(θ, r)は、同じ方向に沿ったF(u, v)の値に等しくなることがわかります。

　従って、色々な方向のG(θ, r)からF(u, v)の全体が得られ、これを２次元フーリエ逆変換すれば f(x, y) が求められることになります。

　　f (x, y) = 1/(4π2)∫-∞∞∫-∞∞ F(u, v)e j (ux + vy) dudv

　ここで、極座標： u = rcosθ, v = rsinθを導入すると、（dxdy = rdrdθ）
　　f (x, y) = 1/(4π2)∫02π∫0∞ F (rcosθ, rsinθ)e jr(xcosθ + ysinθ) rdrdθ

　　　　　　= 1/(4π2)∫02π∫0∞ G(θ, r)e jr(xcosθ + ysinθ) rdrdθ

　　　　　　= 1/(4π2)∫02π｛∫0∞ G(θ, r) r e jr(xcosθ + ysinθ) dr ｝dθ

　この式は、投影データ（ラドン変換）R(θ, X)のフーリエ変換 G(θ, r)に r を掛けたものをフーリエ逆変換し、それをあらゆる角度θについて求めて積分すれば（平均値を取れば）元画像 f(x, y) が得られることを示しています。

非常に難しい話でしたね。